Les commentaires de popov

@Opposition contrôlée

Et autre détail, comment revendent-ils leur excédent s’ils ne sont pas connectés au réseau ?

Et comment se chauffent-ils la nuit ? Avec des pompes à chaleur qui tournent sur des batteries ?

@Kamal GUERROUA.

Aucun reproche, bien au contraire.

@Francis, agnotologue

Pas grave, dans ce domaine, tout le monde fait des erreurs, tout le temps.

@Philippe Huysmans, Complotologue

Quand on se retrouve avec une série infinie qui n’est pas visiblement divergente, on consulte les tables de séries, comme « Table of Integrals, Series and Products » de Gradshteyn and Ryzhik.

De mon temps, il fallait se payer le livre. Maintenant, il est en ligne ici, en format pdf gratuit.

Ou peut aussi essayer l’ami Wolfram, l’auteur du logiciel de calcul symbolique Mathematica et qui met plusieurs modules un peu émasculés en ligne gratuitement.

Il y en a des milliers de séries qui ont été résolues. Si la série converge, il y a des chances que Wolfram donne le résultat. Par exemple, on peut calculer la série 1/n^2 et trouver π²/6 (sous cette forme symbolique) en quelques secondes, résultat qui est par ailleurs facile à démontrer.

Mais tout cela reste calé sur la définition classique de la somme d’une série infinie. Il y a relativement peu de séries divergentes connues auxquelles on peut associer une valeur en utilisant des procédés tous aussi inavouables l’un que l’autre comme ceux que j’ai montrés dans mes commentaires. Je crois qu’il y a là tout un domaine de mathématique à développer.

@cyrus

en fait on voit un nombre juste mathematiquement (-1/12) ,

mais qui ne correspond a rien de phisique pouisque on as bidouiller de manier quantitative , des somme inquantifiable don on ne peut que predire les domaine .

On sait bien que ces sommes ne convergent pas au sens classique de la définition.

Ce qui est fascinant, c’est qu’il existe plusieurs méthodes différentes qui les font converger vers une seule et même valeur.

Et ce qui est encore plus fascinant, dans le cas de S₃, c’est que dans la modélisation de l’effet Casimir, la théorie prédit un résultat sous la forme S₃ = 1 + 2 + 3 + 4... et la mesure donne précisément — 1/12. Donc, cette valeur — 1/12 correspond bien à quelque chose de physique.

J’ai donné une piste pour chercher une explication basée sur la méthode d’Abel et S₂. En résumé, quand les termes contiennent un paramètre variable, on n’obtient pas nécessairement le même résultat si on prend la limite de chaque terme avant de sommer ou si on somme d’abord et qu’on prend ensuite la limite du résultat. Les opérations de passage à la limite et de sommation ne commutent pas nécessairement.

Pour S₁, j’avais vu un exemple où la valeur devait être 1/2 quand j’étais étudiant. Un exemple basé sur une série de Fourier, mais que je ne parviens pas à retrouver.

@Francis, agnotologue

Mais non, n^0 = n et non pas 1

n^0 = 1. C’est n^1 qui vaut n.

@Francis, agnotologue

Et puis, 1 — 2^x + 3^x — 4^x .. tend vers S₁, pas vers S₂ quand x tend vers 0.

@Francis, agnotologue

On pourrait plus concisément écrire : f(x) = 1 — 2^x + 3^x — 4^x ... qui converge vers S2 quand x tend vers zéro.

...mais comment sommer 1 — 2^x + 3^x — 4^x ... ?

@Kamal GERROUA

Voilà, j’espère que vous avez compris que je voulais illustrer votre article.

Même en physique, il est parfois nécessaire de se livrer à des raisonnements fragiles, qui frôlent le précipice, pour y gagner en fécondité.

@Francis, agnotologue

Suite

Pour S₂, la méthode de Cesaro ne fonctionne pas, mais il existe une autre méthode due à Abel. Elle consiste à multiplier chaque terme de la série par x^n (qui vaut 1 lorsque x tend vers 1), de voir si la série converge au sens classique puis d’effectuer le passage à la limite du résultat lorsque x tend vers 1.

On définit donc la fonction f(x) = 1 — 2 x + 3 x^2 — 4 x^3... qui est bien égale à notre S₂ quand on passe à la limite pour x tend vers un dans chaque terme. Mais ici, on calcule la somme avant de passer à cette limite.
Pour cela on pose
g(x) = 1/(1 + x)
et on utilise son développement en série de Taylor :
g(x) = 1 — x + x^2 — x^3...
On dérive ces deux expressions par rapport à x :
— 1 / (1 + x)^2 = — 1 + 2 x — 3 x^2 + 4 x^3...
Le membre de gauche converge vers — 1/4 lorsque x tend vers 1, tandis que membre de droite tend vers S₂.
On a donc retrouvé le résultat S₂ = 1/4.

Que conclure ?
Supposons qu’on mesure une quantité physique et qu’on trouve 1/4.
D’un autre côté on dispose d’un modèle théorique simplifié qui permet de prévoir le résultat de cette mesure sous la forme 1 — 2 + 3 — 4 + 5... qui comme on le sait ne converge pas. 
Est-ce une catastrophe ? Peut-être, mais on peut imaginer qu’un modèle plus exact que le modèle simplifié aurait donné comme prévision la limite de 1 — 2 x + 3 x^2 — 4 x^3... lorsque x tend vers 1.

C’est un peu ce qui se passe dans l’effet Casimir. La mesure d’une certaine grandeur donne — 1/12 alors que la théorie prévoit 1 + 2 + 3 + 4 + 5...

@Francis, agnotologue

Suite

Cesaro a donné un définition plus souple de la somme d’un nombre infini de termes, qui donne le même résultat que la définition classique dans le cas d’une somme convergente et qui donne un résultat fini pour certaines sommes que la définition classique ne permet pas de calculer.

Au lieu de prendre la limite des sommes partielles, Cesaro prend la limite de leur valeur moyenne à chaque étape. Dans le cas de S₁, les sommes partielles sont :
1, 0, 1, 0, 1, 0...
et les moyennes :
1, 1/2, 2/3, 1/2, 3/5, 1/2, 4/7...
Les valeurs successives se répartissent sur deux branches, l’une donnant la valeur fixe 1/2 et l’autre les valeurs 1, 2/3, 3/5, 4/7, 5/9, 6/11 qui tendent vers 1/2.
Les deux branches donnent donc la même valeur 1/2, On dit que cette somme converge vers 1/2 au sens de Cesaro.

À noter que la sommation à la Cesaro a donné exactement le même résultat (1/2) que le raisonnement faux développé dans le premier com. Il y aurait donc peut-être quelque chose de pas tout à fait insensé dans ce raisonnement erroné.

À suivre

@Francis, agnotologue

merci pour ces longues explications, mais est-ce que j’ai dit autre chose ?

Oui, vous avez raison, mais je voulais l’expliquer plus en détail.
Et je n’ai pas fini.

@Francis, agnotologue

Dans la boîte de Schrödinger il y a un chat à moitié mort, oui ou non ?

Rien à voir.
 
Je vais vous expliquer ce qui est faux dans le raisonnement que j’ai développé ci-dessus.
 
Quand on écrit S₁ = 1 — 1 + 1 — 1+ 1...(somme d’un nombre infini de termes), ce n’est pas anodin. En arithmétique, la somme est une opération définie pour deux nombres. On peut facilement généraliser à une somme d’un nombre fini de termes grâce à l’associativité de la somme. Mais quand on écrit une somme d’un nombre infini de termes, il faut définir ce que l’on entend par là.
La définition classique, c’est la limite des sommes partielles quand le nombre d’étapes tend vers l’infini.
Dans le cas de S₁, la suite des sommes partielles vaut 1, 0, 1, 0, 1, 0... ce qui ne tend pas vers une valeur. Dans ce cas, on dit que la somme ne converge pas.

Prenons un autre exemple la somme S = 1 + a + a² + a³ + a⁴...
Dans ce cas, la somme partielle des n premiers termes vaut S(n) = (1 — a^n) / (1 — a) (somme des termes d’une progression géométrique)
Si on fait tendre n vers l’infini, on constate que cette expression tend vers un nombre fini 1 / (1 — a) si a est inférieur à 1.
En particulier, si a = 1/2. on a 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8... = 1 / (1 — 1/2) = 2
Mine de rien, nous venons de résoudre le paradoxe de la dichotomie de Xénon.
Ceci pour constater qu’il y a des sommes infinies qui convergent et d’autres qui ne convergent pas.

Dans une somme d’un nombre infini de termes, on ne peut, en principe, modifier l’ordre des termes ni procéder à des regroupements sous peine d’obtenir n’importe quoi. Par exemple, si on regroupe les termes positif et négatifs de S₁,
S₁ = (1+1 +1 +1 ...) — (1+1 +1 +1 ...). On serait tenté de dire S₁ = 0.
On peut alors extraire le premier terme de le première parenthèse :
S₁ = 1 + (1+1 +1 +1 ...) — (1+1 +1 +1 ...). On serait alors tenté de dire S₁ = 1. 
On peut continuer ainsi et obtenir n’importe quelle valeur.

Dans le raisonnement ci-dessus, j’ai écrit
S₁ = 1 — 1 + 1 — 1 + 1 — 1... = 1 — (1 — 1 + 1 — 1 + 1 — 1...)
Autrement dit, j’ai effectué un regroupement de termes interdit. C’est là que se trouve l’erreur : manipuler des grandeurs non définies comme s’il s’agissait de nombres.

Et pourtant, le physicien aimerait que S₁ soit égal à 1/2.

À suivre

@Francis, agnotologue

Si S₁ = 1 — S₁, alors S₁ = 1/2

Oui ou non ?

@pemile

Merci. Je vais regarder ça demain. Ici, il est 1h du mat.

@Francis, agnotologue
 
Attachez votre ceinture de sécurité.
 
On commence par la somme infinie S₁ = 1 — 1 + 1 — 1 + 1 — 1 + 1....
Difficile de savoir ce que ça vaut. Suivant l’endroit où l’on s’arrête, les sommes partielles donnent 0 ou 1.
Écrivons ceci : S₁ = 1 — (1 — 1 + 1 — 1 + 1 — 1...)
= 1 — S₁
Donc S₁ = 1/2.
 
Maintenant, que vaut la somme infinie S₂ = 1 — 2 + 3 — 4 + 5 — 6... ?
Écrivons ceci : S₂ = 1 — (2 — 3 + 4 — 5 + 6...)
= 1 — (1— 2 + 3 — 4 + 5 — 6...) — (1 — 1 + 1 — 1 + 1 — 1...)
= 1 — S₂ — S₁
Donc, S₂ = 1 — S₂ — 1/2 = 1/2 — S₂ et finalement, S₂ = 1/4
 
Après cette luxueuse introduction, voyons ce que vaut S₃ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5...
Écrivons ceci : S₃ — S₂ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5...) — (1 — 2 + 3 — 4 + 5 — 6...)
= (4 + 8 + 12 + 16 + 20...) = 4S₃
Donc 3S₃ = — S₂ = — 1/4 et finalement, S₃ = — 1/12
 
À méditer

@Francis, agnotologue

Je pourrais vous démontrer que 1+2+3+4+5+... = -1/12 ?

Vous avez bien lu : la somme de tous les entiers positifs vaut le nombre négatif -1/12

J’irais bien cueillir des champignons sur Mars, moi.

Ça doit être bon, les champignons martiens.

P.S : lors de la marche hebdomadaire habituelle du 14 mai dernier, une répression féroce s’est abattue sur les manifestants pacifiques. Beaucoup d’entre ces derniers furent arrêtés et condamnés à la prison ferme. 

Pour plus de détails

Est-ce bien malin de faire une révolution culturelle avec 50 ans de retard sur la Chine et alors que l’histoire a largement démontré que ce fut un désastre.

Ils sont fous ces gauchistes.